4如何从夯实知识基础到构建解题思路？

如何从夯实知识基础到构建解题思路？

高中数学提分手册：明晰高考套路，学习事半功倍

在你的心里，一定有对自己的高考目标分数的期待，那么接下来的这个章节，我们就一起来根据你的目标分数拆解你的学习过程，让你更好地达成这个目标。

其实，无论你的高考目标分数是多少，你首先都在心里要清楚：完成你的这个目标、需要满足什么样的前提条件——然后你再逐条评估要达到这些条件需要怎么做。

我把这些条件称之为「高中数学进阶的能力金字塔」。

高中数学能力金字塔

按照教育部官方在 2020 年最新公布的《普通高中数学课程标准》，这份文件把高中数学的每一个知识点都分成了 3 个能力标准：了解-理解-掌握，根据这 3 个标准，我们可以把你的高中能力金字塔分为四个层级：

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这个能力金字塔的底基叫做基础知识点：

这个层次需要达到什么程度呢？

我在图中给你罗列了几个例子。

比如我们高中数学「解析几何初步」中谈直线的方程，它总共有五种表达式——你能不能够说出这五种表达式分别是什么样的形式？

这五种直线方程中每一个表达式含有哪些参量？

这些参量在具体的图像中代表着什么样的几何意义？

第一层级下边儿我还举了一个关于「三角函数」的例子：三角函数里边有非常多的公式类，诸如此类的这些知识，统称为「基础知识点」。

一个想从 200 分进阶为 650 分的学生，第一步就要做到：当我向你提及高中数学的每一个具体知识点时，你要非常熟练的告诉我这个知识点背后有什么具体的细节，概念要懂、公式要会，而且得理解每一个知识点内部的结构是怎么回事儿——这是第一步；

当然，知道了知识点也未必能保证你把题目做出来，这就是第二个层级的要求：你还得知道知识点的用法——也就是整个知识点的框架：

因为在实际的做题中，你面对一道题目，需要通过读题精确的定位这道题目考查了哪一个知识点——换句话，你看到一道题，至少得知道它考的是什么；然后你要从基础知识库中调用这些知识点来完成答题。

我在这个层级下面举了一个具体的例子：比如某个题目最终的问题落在了「线面垂直的证明」——那么你这个时候要明白：线面垂直有哪些证明方法呢？

如果你对《立体几何》这部分的知识熟悉，你得知道「线面垂直」总共只有两种证明方向：一种是通过线线垂直来证明线面垂直；当然你还可以用面面垂直来证明线面垂直

类似于这样的一些东西，属于第二个能力层级，也就是所谓的「框架」——具体要求是：你需要知道每一个知识点的具体用法。

第三个能力层级要求你了解每一个知识点会以怎样的形式进行考查，这些知识点的考察角度会有哪些？

比如我问你：三角函数有哪些考察的角度呢？

其实统一来说，《三角函数》这个章节的大框架总共有三个部分：

第一个是有关三角函数恒等变换：也就是给你一个复杂的公式，你需要利用三角函数的基本公式对它进行拆分组合，最终将其化简为一个统一的标准形式；

第二个是关于三角函数图像性质的问题：这部分内容在题目中有非常多的问法，比如题目可能问你一个三角函数的周期是多少？极值点在哪儿？对称轴方程是什么？单调区间在哪里？——这一切问题其实本质都是考查三角函数的图像性质，而它们统一的解决方法，本质在于一个叫做「五点作图」的方法；

最后一个点，是关于三角函数的图像变换——我相信你们高中数学老师一定给你讲过一个口诀叫「左加右减、上加下减」——但是这个口诀应用的过程当中，会出现一些你需要格外注意的小细节。

你看，当我提到「三角函数」这个知识点时，你能不能在脑海中构架出这个考点在高考中的高频考查形式？——这就是我所说的第三个能力层级：关于考法的认知。

当然，知道了，基础知识、知识点的用法以及知识点的考查形式，也并不能够保证你在每一道题目中都游刃有余的构建出解题思路。所以这里还有第四个能力层级。

这个层级最主要的要求是：给定一个题目条件后，你得知道这个条件可以有哪些推论；给你一个问题、你也要知道想要达成这个问题，需要有哪些前提条件。

除此之外，更重要的是：一个条件往往可以有很多个推论、一个问题也可以有很多个方向去解（比如我们之前提到过的线面垂直，你既可以用「线线垂直」来证、也可以用「面面垂直」来证），具体要选择哪一条路，最关键的标准在于你在事先要明白：这条路你最终能不能算得下去？

——拥有这些判断能力的学生，我们称之为他达到了第四个能力层级。

如何构建解题思路

建立在上述四级能力金字塔背后的，就是我们高中数学题目的解答逻辑。

在高中，想要解答一道数学题，其中最关键的要点在于：你要懂得每个知识点产生所需要的「充分条件」，以及这个知识点可以导致的「必要推论」。

如果想要知道你差在哪儿，我们最好从「实战」的角度进行一点推演。一般而言，一道题目的题干包含了两部分内容——已知条件，和待求问题，而把他们链接起来的过程，就是我们所谓的「思路」：

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想要解答一道题目，你要回答的第一个问题是：盯着每一个条件，告诉我「这个条件的意思究竟是什么」？——简言之，你要对题目条件进行「转化」：

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用逻辑化的语言表达：这要求你在学习的过程中了解每个知识点可以产生什么「必要推论」；用通俗的话来说，你要能读懂一个题目的「弦外之音」。

比如 2016 年上海卷文科数学第 10 题是这样说的：

（2016-上海卷-文科数学-T10）已指三角形的三边长分别为 3、5、7，求该三角形外接圆半径。

——你看，题目条件说「已知三角形三条边长」——从这个条件你能导出什么结论？

如果你把「余弦定理」学明白了，你会知道：已知三角形的三边，你可以计算任何一个角的余弦值——只有想到这一步，这个题目的条件对你才是「有用」的。

除了盯着题目条件之外，想要解答一道题目，你需要回答的第二个问题是：盯着结论，问自己「想要得到这个结论，我需要什么条件」？

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用逻辑化的语言讲：你需要了解这个推知这个结论所需要的「充分条件」，用通俗的老话来讲，叫做「没有金刚钻，别揽瓷器活儿」——你得知道想要达到一个目标，你手头得有什么东西。

我们就还拿 2016 年上海卷这道题来说吧，你看，它的问题落在了求「三角形外接圆半径」上面—— 如果你的数学老师足够靠谱，他应该告诉过你：高中数学中「三角形外接圆」这个词是密切联系「正弦定理」的，因为你高中三年学过的所有知识点中，只有「正弦定理」这一个知识点包含了三角形「外接圆」这个概念！

所以，想要达到这个目标，你应该考虑「使用正弦定理求外接圆半径」。

当然，真正高考的难题往往是有很多岔路的，比如你会发现一个题目的待求结论可能有很多种方法：

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比如 2018 年全国 II 卷的这道立体几何题目，它的最后问题是让证明「线面垂直」：

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如果仔细梳理高中数学的大纲内容，你会发现我们讲了两条证明线面垂直的线索：

• 方法 I（通过线线垂直证明）：在平面 S 中找到两条相交的直线 l1 和 l2 ，说明直线 l 垂直 l1 而且 l 垂直 l2 ，进而知道平面 S 垂直于直线 l ；

• 方法 II（通过面面垂直证明）：如果已知道平面 S1 垂直于 S2 ，而且直线 l 属于平面 S1 ，并且直线 l 与两个面的交线垂直，那么直线 l 垂直于平面 S2 。

如果你很清楚上面的两条思路，读完题目后你才能迅速作出判断——这个题目中没有「面面垂直」的条件，我们只能从方法 I 中找思路，也就是说：你下一步需要在平面 ABC 中找到两条与 PO 垂直的线。

换句话说，你要在已知条件的推论能够完全满足要求的那个方案上进行最终操作。

所以，高考数学中真正的难题，解题逻辑大概都是这个样子的：

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想要在其中「自发产生」正确的思路，你在学习过程中必须非常清楚：只学会一个知识点，是远远不够的，你还必须在学习过程中时刻反思：

· （正向）知道了这个知识点后，我能推得什么结论？

· （反向）如果要让我求这个东西，我需要什么条件？

—— 而对上述两个问题的回答，才是你解题的真正核心，但是这些内容是你在教材上学不到的：你必须对高考的真题有足够细致的分析，我们在下一节继续讲。

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编辑于 2022-05-05 12:46 · 禁止转载

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